Marchés financiers et modèles mathématiques

Hypothèses

La modélisation des cours boursiers s'appuie sur certaines hypothèses dont les suivantes:
- un cours boursier suit un processus aléatoire
- l'hypothèse d'ergodicité s'applique à ce processus

Loi de probabilité

De manière empirique, chacun pourra constater qu'en réalisant un grand nombre de tirages pile ou face, une pièce aura une chance sur deux de tomber côté pile et une chance sur deux de tomber coté face. La loi de probabilité est donc ici la fonction : pile → ½, face → ½. Ceci signifie en jargon probabiliste, que chaque événement pile et face a une mesure de probabilité de 0.5. Nous notons cela P({pile}) = 0.5 et P({face})= 0.5

Pour le cours boursier d'une action, c'est un peu plus délicat. En effet, une action peut prendre une infinité de valeurs. On raisonne alors sur des probabilités infinitésimales pour nous ramener à des notions ensemblistes. Quelle est la probabilité d'avoir un cours de bourse X compris entre x et x + dx ?

C'est P({x <= X <= x+dx}) = P({X<=x+dx}) - P({x <= X}) = P(x+dx) – P(x) = dP(x)

Intuitivement, nous pouvons concevoir que lancer 1000 pièces strictement identiques au même moment ou lancer une pièce 1000 fois nous donnera à peu près le même résultat. Nous faisons la même hypothèse pour le cours boursier X d'une action. Ceci permet de résoudre le problème suivant : comment vérifier que notre cours boursier suit bien la loi de notre processus ? En effet, à un instant t, l'événement où le cours boursier X est compris entre x et x+dx ne survient qu'une fois. L'hypothèse ergodique nous permet de considérer que X suit à l'instant t une loi qui est la loi du processus au cours du temps. Cela est-il raisonnable ?

La réponse est non dans un environnement chahuté. Imaginons que les lois de la physique soient amenées à changer au cours du temps. Qu'est-ce qui pourrait nous garantir que le côté pile aurait autant de chance de sortir que le côté face ? Rien. Avant donc de remettre en question le mouvement brownien, les formules de Black-Scholes et dérivées, commençons par nous demander si cette théorie tient encore la route en reconsidérant l'hypothèse ergodique.

Modélisation auto-invalidée

Pour aller plus loin, si nous sommes capable de modéliser le comportement des différents acteurs financiers, nous pourrions en tirer fort parti. Mais si cette théorie venait à se diffuser au sein de ce microcosme, chaque acteur pourrait en profiter et serait amené à modifier son comportement initial, ce qui amènerait à invalider le modèle. Or, étant donné qu'aujourd'hui les comportement sont dictés par des modèles mathématiques issue d'une pensée unique à travers notamment le trading algorithmique, il serait temps de revoir ses classiques.

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